设A与B均为正交矩阵，并且｜A｜+｜B｜=0．证明：A+B不可逆．

admin2016-09-19 78

问题设A与B均为正交矩阵，并且｜A｜+｜B｜=0．证明：A+B不可逆．

选项

答案由AA^T=E有｜A｜²=1，因此，正交矩阵的行列式为1或－1．由｜A｜+｜B｜=0有｜A｜｜B｜=－1，也有｜A^T｜｜B^T｜=－1．再考虑到｜A^T(A+B)B^T｜=｜A^T+B^T｜=｜A+B｜，所以－｜A+B｜=｜A+B｜，｜A+B｜=0．故A+B不可逆．

解析

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