设f(x)在(-∞,﹢∞)上连续,下述命题: ①若对任意a,∫-aaf(x)dx=0,则f(x)必是奇函数; ②若对任意a,∫-aaf(x)dx=2∫0af(x)dx,则F(X)必是偶函数; ③若f(x)为周期为T的奇函数,则F(x)=∫0xf(t)dt也

admin2018-12-21  53

问题 设f(x)在(-∞,﹢∞)上连续,下述命题:
①若对任意a,∫-aaf(x)dx=0,则f(x)必是奇函数;
②若对任意a,∫-aaf(x)dx=2∫0af(x)dx,则F(X)必是偶函数;
③若f(x)为周期为T的奇函数,则F(x)=∫0xf(t)dt也具有周期T.
正确的个数是    (  )

选项 A、0
B、1.
C、2.
D、3.

答案D

解析 ①是正确的.记F(a)=∫-aaf(x)dx,有F(a)=f(a)﹢f(-a).
由于F(a)=0,所以F(a),即f(a)=-f(-a),f(x)为奇函数.
②是正确的.记F(a)=∫-aaf(x)dx-2∫0af(x)dx,F(a)=f(a)﹢f(-a)-2f(a)0,所以f(-a)=
f(a),f(x)为偶函数.
③是正确的. F(x﹢T)-F(x)=∫0x﹢Tf(t)dt-∫0xf(t)df=∫x0x﹢Tf(t)dt
=∫0Tf(t)dt=f(t)dt=0,
所以F(x)具有周期T故应选(D).
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