设二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+2ax1x2一4x1x3+8x2x3(其中a为整数)经过正交变换化为标准形f=y12+6y22 +by32，求：正交变换矩阵Q。

admin2017-02-13 67

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=4x₂²一3x₃²+2ax₁x₂一4x₁x₃+8x₂x₃(其中a为整数)经过正交变换化为标准形f=y₁²+6y₂² +by₃²，求：
正交变换矩阵Q。

选项

答案二次型矩阵A=[*]的特征值为λ₁=1，λ₂=6，λ₃=一6。根据(E—A)x=0得特征值λ₁=1对应的特征向量为ξ₁=[*]；根据(6E—A)x=0得特征值λ₂=6对应的特征向量为ξ₂=[*]；根据(一6E—A)x=0得特征值λ₃=一6对应的特征向量为ξ₃=[*]；由于不同特征值所对应的特征向量必正交，故只需单位化，得γ₁=[*]，γ₂=[*]，γ₃=[*]于是正交变换矩阵为 Q=[*] 且Q ^TAQ=[*]。

解析

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考研数学三

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