设二次型f(x1,x2,x3)=4x22一3x32+2ax1x2一4x1x3+8x2x3(其中a为整数)经过正交变换化为标准形f=y12+6y22 +by32,求: 正交变换矩阵Q。

admin2017-02-13  54

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=4x22一3x32+2ax1x2一4x1x3+8x2x3(其中a为整数)经过正交变换化为标准形f=y12+6y22 +by32,求:
正交变换矩阵Q。

选项

答案二次型矩阵A=[*]的特征值为λ1=1,λ2=6,λ3=一6。 根据(E—A)x=0得特征值λ1=1对应的特征向量为ξ1=[*]; 根据(6E—A)x=0得特征值λ2=6对应的特征向量为ξ2=[*]; 根据(一6E—A)x=0得特征值λ3=一6对应的特征向量为ξ3=[*]; 由于不同特征值所对应的特征向量必正交,故只需单位化,得γ1=[*],γ2=[*],γ3=[*]于是正交变换矩阵为 Q=[*] 且Q TAQ=[*]。

解析
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