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  3. 设函数f(x)连续，且满足f(x)+∫0x(x-2-t)f(t)dt=6(x-2)ex,求f(x)。

设函数f(x)连续，且满足f(x)+∫0x(x-2-t)f(t)dt=6(x-2)ex,求f(x)。

admin2022-09-14  55
问题 设函数f(x)连续，且满足f(x)+∫0x(x-2-t)f(t)dt=6(x-2)ex,求f(x)。
选项
答案由积分方程f(x)+∫0x(x-2-t)f(t)dt=6(x-2)ex可知f(0)=-12。 由f(x)连续知上式中变上限积分可导，而初等函数6(x-2)ex是可导的，所以f(x)也可导。在方程两边对x求导得 f’(x)+∫0xf(t)dt-2f(x)=6(x-1)ex，且f’(0)=-30。 同理可知f(x)二次可导，上式两端对x求导得 f”(x)-2f’(x)+f(x)=6xex。 该二阶常系数线性微分方程的特征方程是λ2-2λ+1=0，故特征根是1(二重)，于是对应的齐次方程的通解为F(x)=(C1+C2x)ex。因非齐次项Q(x)=6xex，可设非齐次方程的一个特解为f”(x)=(Ax+B)x2ex，代入f”(x)-2f’(x)+f(x)=6xex可求得A=1，B=0，从而原方程的解为f(x)=(C1+C2x+x3)ex。 利用初值条件f(0)=-12，f’(0)=-30可得C1=-12，C2=-18，故 f(x)=(x3-18x-12)ex。
解析
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考研数学二

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