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设函数f(x)连续,且满足f(x)+∫0x(x-2-t)f(t)dt=6(x-2)ex,求f(x)。
设函数f(x)连续,且满足f(x)+∫0x(x-2-t)f(t)dt=6(x-2)ex,求f(x)。
admin
2022-09-14
82
问题
设函数f(x)连续,且满足f(x)+∫
0
x
(x-2-t)f(t)dt=6(x-2)e
x
,求f(x)。
选项
答案
由积分方程f(x)+∫
0
x
(x-2-t)f(t)dt=6(x-2)e
x
可知f(0)=-12。 由f(x)连续知上式中变上限积分可导,而初等函数6(x-2)e
x
是可导的,所以f(x)也可导。在方程两边对x求导得 f’(x)+∫
0
x
f(t)dt-2f(x)=6(x-1)e
x
,且f’(0)=-30。 同理可知f(x)二次可导,上式两端对x求导得 f”(x)-2f’(x)+f(x)=6xe
x
。 该二阶常系数线性微分方程的特征方程是λ
2
-2λ+1=0,故特征根是1(二重),于是对应的齐次方程的通解为F(x)=(C
1
+C
2
x)e
x
。因非齐次项Q(x)=6xe
x
,可设非齐次方程的一个特解为f”(x)=(Ax+B)x
2
e
x
,代入f”(x)-2f’(x)+f(x)=6xe
x
可求得A=1,B=0,从而原方程的解为f(x)=(C
1
+C
2
x+x
3
)e
x
。 利用初值条件f(0)=-12,f’(0)=-30可得C
1
=-12,C
2
=-18,故 f(x)=(x
3
-18x-12)e
x
。
解析
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0
考研数学二
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