设由流水线加工的某种零件的内径X(单位：毫米)服从正态分布N(μ，1)，内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润T(单位：元)与销售零件的内径X有如下关系：问平均内径μ取何值时，销售一个零

admin2019-01-19 68

问题设由流水线加工的某种零件的内径X(单位：毫米)服从正态分布N(μ，1)，内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润T(单位：元)与销售零件的内径X有如下关系：

问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大。

选项

答案依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法，有 E(T)=一1×P{X<10}+20×P{10≤X≤12}一5×P{X>12} =一Φ(10一μ)+20[Φ(12一μ)一Φ(10一μ)]一5[1一Φ(12一μ) =25Φ(12一μ)一21Φ(10一μ)一5，可知销售利润的数学期望E(T)是μ的函数。要求E(T)的最大值，令其一阶导数为0，有 [*]=一25φ(12一μ)+21φ(10一μ)=[*]=0，即[*]，解得μ=11一[*]，因实际问题一定可取到最值，所以当μ=11一[*]时，销售一个零件的平均利润最大。

解析

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考研数学三

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