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设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,且f(a)=g(b)=0,g’(x)<0,试证明存在ξ∈(a,b)使
设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,且f(a)=g(b)=0,g’(x)<0,试证明存在ξ∈(a,b)使
admin
2020-07-31
59
问题
设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,且f(a)=g(b)=0,g’(x)<0,试证明存在ξ∈(a,b)使
选项
答案
令φ(x)=f(x)∫
x
b
g(t)dt+g(x)∫
a
x
f(t)dt,显然函数φ(x)在区间[a,b)]上连续,函数φ(x)在区间(a,b)内可导,且 φ’(x)=[f’(x)∫
x
b
g(t)dt-f(x)g(x)]+[g(x)f(x)+g’(x)∫
a
x
f(t)dt] =f’(x)∫
x
b
g(t)dt+g’(x)∫
a
x
f(t)dt, 另外又有φ(a)=φ(b)=0. 所以根据罗尔定理可知存在ξ∈(a,b)使φ’(ξ)=0,即 f’(ξ)∫
ξ
b
g(t)dt+g’(ξ)∫
a
ξ
f(t)dt=0, 由于g(b)=0及g’(x)<0,所以区间(a,b)内必有g(x)>0,从而就有∫
ξ
b
g(t)dt>0, 于是有 [*]
解析
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考研数学二
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