(1)设f(x)是以T为周期的连续函数，试证明：∫0xf(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数ψ(x)与kx之和，并求出此常数k； (2)求(1)中的 (3)以[x]表示不超过x的最大整数，g(x)=x一[x]，求

admin2019-06-28 82

问题 (1)设f(x)是以T为周期的连续函数，试证明：∫₀^xf(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数ψ(x)与kx之和，并求出此常数k；
(2)求(1)中的

(3)以[x]表示不超过x的最大整数，g(x)=x一[x]，求

选项

答案(1)证明能取到常数k使∫₀^xf(t)dt一kx为周期T即可．(1)得到的表达式去求[*] 即可得(2)．但请读者注意，一般不能用洛必达法则求此极限，除非f(x)恒为常数．对于 (3)，由于g(x)不连续，如果要借用(1)的结论，需要更深一层的结论(见下面的[注])．由于g(x)可以具体写出它的分段表达式，故可直接积分再用夹逼定理即得． (1)令φ(x)=∫₀^xf(t)dt—kx，考察 ψ(x+T)一ψ(x)=∫₀^x+Tf(t)dt一k(x+T)一∫₀^xf(t)dt+kx =∫₀^Tf(t)dt+∫_T^x+Tf(t)dt—∫₀^xf(t)dt—kT．对于其中的第二个积分，作积分变量代换，命t=u+T，有 ∫_T^x+Tf(t)dt=∫₀^xf(u+T)du=∫₀^xf(u)du， ① 于是 ψ(x+T)-ψ(x)=∫₀^Tf(t)dt一kT 可见，ψ(x)为T周期函数的充要条件是[*] 即证明了∫₀^xf(t)dt可以表示成 [*] 其中ψ(x)为某一周期T的函数． (2)由(1)，[*] 因ψ(x)为连续的周期函数，故ψ(x)在(一∞，+∞)上有界，从而 [*] (3)设n≤x＜n+1， [*] 由n≤x＜n+1，有 [*] 由夹逼定理知 [*]

解析

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考研数学二

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