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(I)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得f(b)一f(a)=f’(ξ)(b—a); (Ⅱ)证明若函数f(x)在x=0处连续,在(0,δ)(δ>0)内可导,且 f’(x)=A,则f+’(0)
(I)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得f(b)一f(a)=f’(ξ)(b—a); (Ⅱ)证明若函数f(x)在x=0处连续,在(0,δ)(δ>0)内可导,且 f’(x)=A,则f+’(0)
admin
2019-07-22
57
问题
(I)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得f(b)一f(a)=f’(ξ)(b—a);
(Ⅱ)证明若函数f(x)在x=0处连续,在(0,δ)(δ>0)内可导,且
f’(x)=A,则f
+
’(0)存在,且f
+
’(0)=A。
选项
答案
(I)作辅助函数φ(x)=f(x)一f(a)一[*],易验证φ(x)满足:φ(a)=φ(b);φ(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且 [*] 根据罗尔定理,可得在(a,b)内至少有一点ξ,使φ’(ξ)=0,即 [*] 所以f(b)一f(a)=f’(ξ)(b一a)。 (Ⅱ)任取x
0
∈(0,δ),则函数f(x)满足在闭区间[0,x
0
]上连续,开区间(0,x
0
)内可导,因此由拉格朗日中值定理可得,存在ξ
x
0
∈(0,x
0
) [*] (0,δ),使得 [*] 又由于[*],对(*)式两边取x
0
→0
+
时的极限 [*] 故f’
+
(0)存在,且f’
+
(0)=A。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/qLN4777K
0
考研数学二
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