2. 考研
  3. (I)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)一f(a)=f’(ξ)(b—a)； (Ⅱ)证明若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且 f’(x)=A，则f+’(0)

(I)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)一f(a)=f’(ξ)(b—a)； (Ⅱ)证明若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且 f’(x)=A，则f+’(0)

admin2019-07-22  58
问题 (I)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)一f(a)=f’(ξ)(b—a)；
(Ⅱ)证明若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且 f’(x)=A，则f+’(0)存在，且f+’(0)=A。
选项
答案(I)作辅助函数φ(x)=f(x)一f(a)一[*]，易验证φ(x)满足：φ(a)=φ(b)；φ(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且 [*] 根据罗尔定理，可得在(a，b)内至少有一点ξ，使φ’(ξ)=0，即 [*] 所以f(b)一f(a)=f’(ξ)(b一a)。 (Ⅱ)任取x0∈(0，δ)，则函数f(x)满足在闭区间[0，x0]上连续，开区间(0，x0)内可导，因此由拉格朗日中值定理可得，存在ξx0∈(0，x0) [*] (0，δ)，使得 [*] 又由于[*]，对(*)式两边取x0→0+时的极限 [*] 故f’+(0)存在，且f’+(0)=A。
解析
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考研数学二

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