设A，B为3阶可逆矩阵，A，B相似，且｜A－3E｜＝0，λ1＝1，λ2＝2是矩阵A的两个特征值，则｜B﹣1－2AB﹣1｜＝( )

admin2019-12-06 57

问题设A，B为3阶可逆矩阵，A，B相似，且｜A－3E｜＝0，λ₁＝1，λ₂＝2是矩阵A的两个特征值，则｜B^﹣1－2AB^﹣1｜＝( )

选项 A、5/2
B、﹣5/2
C、2/5
D、﹣2/5

答案B

解析根据｜A－3E｜＝0可知λ＝3是矩阵A的一个特征值，因此A的所有特征值为1，2，3。已知A和B相似，因此B的特征值也是1，2，3。E－2A的特征值分别为1－2×1＝﹣1，1－2×2＝﹣3，1－2×3＝﹣5。因此｜E－2A｜＝(﹣1)×(﹣3)×(﹣5)＝﹣15，｜B｜＝λ₁λ₂λ₃＝1×2×3＝6，故｜B^﹣1－2AB^﹣1｜＝｜(E－2A)B^﹣1｜＝｜E－2A｜｜B｜^﹣1＝

。

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