设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)＝f(2)＝0，且｜f’(x)｜≤2．证明：｜∫02f(x)dx｜≤2．

admin2017-12-31 38

问题设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)＝f(2)＝0，且｜f’(x)｜≤2．证明：
｜∫₀²f(x)dx｜≤2．

选项

答案由微分中值定理得f(x)－f(0)＝f’(ξ₁)x，其中0＜ξ₁＜x， f(x)－f(2)＝f’(ξ₂)(x－2)，其中x＜ξ₂＜2，于是[*]，从而｜∫₀²f(x)dx｜≤∫₀²｜f(x)｜dx＝∫₀¹｜f(x)｜dx＋∫₁²｜f(x)｜dx ≤∫₀¹2xdx＋∫₁²2(2－x)dx＝2．

解析

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考研数学三

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