设有平面光滑曲线l:x=x(t),y=y(t),z=0,t∈[α,β],以及空间光滑曲线L:x=x(t),y=y(t),z=f(x(t),y(t)),t∈[α,β],t=α,t=β分别是起点与终点的参数. 若P,Q,R连续,f(x,y)有连续的偏导数,求

admin2018-06-15  41

问题 设有平面光滑曲线l:x=x(t),y=y(t),z=0,t∈[α,β],以及空间光滑曲线L:x=x(t),y=y(t),z=f(x(t),y(t)),t∈[α,β],t=α,t=β分别是起点与终点的参数.
若P,Q,R连续,f(x,y)有连续的偏导数,求证:
LP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=∫l[P(x,yf(x,y))+R(x,y,f(x,y))]+[Q(x,y,f(x,y))+R(x,y,f(x,y))]dy.

选项

答案按线积分化定积分公式得 ∫LP(x,y,z)dx=∫αβP(x(t),y(t),f(x(t),y(t)))x’(t)dt=∫lP(x,y,f(x,y))dx. ∫LP(x,y,z)dy=∫αβQ(x(t),y(t),f(x(t),y(t)))y’(t)dt=∫lQ(x,y,f(x,y))dy. ∫LP(x,y,z)dz [*] 三式相加即得证.

解析
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