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证明条件极值点的必要条件(8.9)式,并说明(8.9)式的几何意义.
证明条件极值点的必要条件(8.9)式,并说明(8.9)式的几何意义.
admin
2016-10-26
88
问题
证明条件极值点的必要条件(8.9)式,并说明(8.9)式的几何意义.
选项
答案
所设条件,φ(x,y)=0在x=x
0
的某邻域确定隐函数y=y(x)满足y
0
=y(x
0
),于是P
0
(x
0
,y
0
)是z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0下的极值点[*]z=f(x,y(x))在x=x
0
取极值[*] [*]① 又由φ(x,y(x))=0,两边求导得 φ′
x
(x
0
,y
0
)+φ′
y
(x
0
,y
0
),y′(x
0
)=0,解得y′(x
0
)=-φ′
x
(x
0
,y
0
)/φ′
y
(x
0
,y
0
). ② 将②式代入①式得f′
x
(x
0
,y
0
)一f′
y
(x
0
,y
0
)φ′
x
(x
0
,y
0
)/φ′
y
(x
0
,y
0
)=0. 因此[*] (8.9) 在Oxy平面上看,φ(x,y)=0是一条曲线,它在P
0
(x
0
,y
0
)的法向量是(φ′
x
(P
0
),φ′
y
(P
0
)),而f(x,y)=f(x
0
,y
0
)是一条等高线,它在P
0
的法向量是(f′
x
(P
0
),f′
y
(P
0
)),(8.9)式表示这两个法向量平行,于是曲线φ(x,y)=0与等高线f(x,y)=f(P
0
)在点P
0
处相切.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/C1u4777K
0
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