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  3. 证明条件极值点的必要条件(8．9)式，并说明(8．9)式的几何意义．

证明条件极值点的必要条件(8．9)式，并说明(8．9)式的几何意义．

admin2016-10-26  58
问题 证明条件极值点的必要条件(8．9)式，并说明(8．9)式的几何意义．
选项
答案所设条件，φ(x，y)=0在x=x0的某邻域确定隐函数y=y(x)满足y0=y(x0)，于是P0(x0，y0)是z=f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点[*]z=f(x，y(x))在x=x0取极值[*] [*]① 又由φ(x，y(x))=0，两边求导得 φ′x(x0，y0)+φ′y(x0，y0)，y′(x0)=0，解得y′(x0)=－φ′x(x0，y0)／φ′y(x0，y0)． ② 将②式代入①式得f′x(x0，y0)一f′y(x0，y0)φ′x(x0，y0)／φ′y(x0，y0)=0． 因此[*] (8．9) 在Oxy平面上看，φ(x，y)=0是一条曲线，它在P0(x0，y0)的法向量是(φ′x(P0)，φ′y(P0))，而f(x，y)=f(x0，y0)是一条等高线，它在P0的法向量是(f′x(P0)，f′y(P0))，(8．9)式表示这两个法向量平行，于是曲线φ(x，y)=0与等高线f(x，y)=f(P0)在点P0处相切．
解析
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考研数学一

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