已知n阶矩阵A满足(A－aE)(A－bE)＝0，其中a≠b，证明A可对角化．

admin2016-10-21 47

问题已知n阶矩阵A满足(A－aE)(A－bE)＝0，其中a≠b，证明A可对角化．

选项

答案首先证明A的特征值只能是a或b．设A是A的特征值，则(λ－a)(λ－b)＝0，即λ－a或λ－b．如果b不是A的特征值，则A－bE可逆，于是由(A－aE)(A－bE)＝0推出A－aE＝0，即A＝aE是对角矩阵．如果b是A的特征值，则｜A－6E｜＝0．设η₁，η₂，…，η_t是齐次方程组(A－bE)X＝0的一个基础解系(这里t＝n－r(A－bE))，它们都是属于b的特征向量．取A－bE的列向量组的一个最大无关组γ₁，γ₂，…，γ_k，这里k＝r(A－bE)．则γ₁，γ₂，…，γ_k是属于a的一组特征向量．则有A的k＋t＝n个线性无关的特征向量组γ₁，γ₂，…，γ_k；η₁，η₂，…，η_t，因此A可对角化．

解析

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考研数学二

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