求函数f(x)=∫0x2(2-t)e-tdt的最值．

admin2019-06-28 60

问题求函数f(x)=∫₀^x²(2-t)e^-tdt的最值．

选项

答案由于f(x)是偶函数，我们只需考察x∈[0，+∞)．由变限积分求导公式得 f’(x)=2x(2-x²)e^-x²．解f’(x)=0得x=0与x=[*]，于是 [*] 从而，f(x)的最大值是[*]=∫₀²(2-t)e^-td t=∫₀²(2-t)de^-t=(t-2)e^-t｜₀²-∫₀²e^-tdt =2+e｜₀² =1+e^-2．由上述单调性分析，为求最小值，只需比较f(0)与[*]的大小．由于 [*]=∫₀^+∞(2-t)e^-tdt=[(t-2)e^-t+e^-t]｜₀^+∞=1＞f(0)=0．因此f(0)=0是最小值．

解析

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