2. 考研
  3. 设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且ψ’(x)=φ(x)，ψ(0)=0． (1)求方程y’+ysin x=φ(x)ecosx的通解； (2)方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由．

设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且ψ’(x)=φ(x)，ψ(0)=0． (1)求方程y’+ysin x=φ(x)ecosx的通解； (2)方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由．

admin2019-01-05  109
问题 设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且ψ’(x)=φ(x)，ψ(0)=0．
(1)求方程y’+ysin x=φ(x)ecosx的通解；
(2)方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由．
选项
答案(1)该方程为一阶非齐次线性微分方程，通解为 y=e-∫sinxdx[∫φ(x)ecosxe∫sinxdxdx+C] =ecosx[∫φ(x)ecosx.e-cosxdx+C] =ecosx[∫φ(x)dx+C]=ecosx[ψ[x)+C]， 其中C为任意常数． (2)因为ψ’(x)=φ(x)，所以ψ(x)=∫0xφ(t)dt+C1．又ψ(0)=0，于是，ψ(x)=∫0xφ(t)dt． ψ(x+2π)=∫0x+2πφ(t)dt=∫0xφ(t)dt+∫xx+2πφ(t)dt=ψ(x)+∫02πφ(t)dt， 所以当∫02πφ(t)t=0时，ψ(x+2π)=ψ(x)，即ψ(x)以2π为周期． 因此，当∫02πφ(t)dt=0时，方程有以2π为周期的解．
解析
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考研数学三

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