2. 考研
  3. 设f(x)在[0，＋∞)内二阶可导，f(0)＝－2，f’(0)＝1，f”(x)≥0．证明：f(x)＝0在(0，＋∞)内有且仅有一个根．

设f(x)在[0，＋∞)内二阶可导，f(0)＝－2，f’(0)＝1，f”(x)≥0．证明：f(x)＝0在(0，＋∞)内有且仅有一个根．

admin2019-11-25  52
问题 设f(x)在[0，＋∞)内二阶可导，f(0)＝－2，f’(0)＝1，f”(x)≥0．证明：f(x)＝0在(0，＋∞)内有且仅有一个根．
选项
答案因为f”(x)≥0，所以f’(x)单调不减，当x＞0时，f’(x)≥f’(0)＝1． 当x＞0时，f(x)－f(0)＝f’(ξ)x，从而f(x)≥f(0)＋x，因为[*][f(0)＋x]＝＋∞， 所以[*]f(x)＝＋∞． 由f(x)在[0，＋∞)上连续，且f(0)＝－2＜0，[*]f(x)＝＋∞，则f(x)＝0在(0，＋∞)内至少有一个根，又由f’(x)≥1＞0，得方程的根是唯一的．
解析
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考研数学三

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