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设矩阵A=(a1,a2,a3,a4),其中a2,a3,a4线性无关,a1=2a2一a3,向量b=a1+a2+a3+a4,求方程组Ax=b的通解。
设矩阵A=(a1,a2,a3,a4),其中a2,a3,a4线性无关,a1=2a2一a3,向量b=a1+a2+a3+a4,求方程组Ax=b的通解。
admin
2021-11-09
55
问题
设矩阵A=(a
1
,a
2
,a
3
,a
4
),其中a
2
,a
3
,a
4
线性无关,a
1
=2a
2
一a
3
,向量b=a
1
+a
2
+a
3
+a
4
,求方程组Ax=b的通解。
选项
答案
已知a
2
,a
3
,a
4
线性无关,则r(A)≥3。又由a
1
,a
2
,a
3
线性相关可知a
1
,a
2
,a
3
,a
4
线性相关,故r(A)≤3。 综上所述,r(A)=3,从而原方程组的基础解系所含向量个数为4—3=1。又因为 a
1
=2a
2
一a
3
[*]a
1
—2a
2
+a
3
=0[*](a
1
,a
2
,a
3
,a
4
)[*]=0, 所以x=(1,一2,1,0)
T
是方程组Ax=0的基础解系。 又由b=a
1
+a
2
+a
3
+a
4
可知x=(1,1,1,1)
T
是方程组Ax=b的一个特解。 于是原方程组的通解为 x=c(1,1,1,1)
T
+c(1,一2,1,0)
T
,c∈R。
解析
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考研数学二
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