设函数y=f(x)在(0,+∞)内有界且可导,则( ).

admin2019-08-27  37

问题 设函数y=f(x)在(0,+∞)内有界且可导,则(    ).

选项 A、 
B、 
C、 
D、 

答案B

解析 【思路探索】本题可用拉格朗日中值定理直接证明选项(B)正确;还可通过举反例用排除法得结论.
对任意的a∈(0,+∞),对y=f(x)在区间[a,x]上使用拉格朗日中值定理,得

因为f(x)在[a,x] ?(0,+∞)上有界,所以f(x)-f(a)有界.

故(B)正确.
排除法:
设f(x)=sin x2/x,则,所以f(x)在(0,+∞)内有界,由于

可见f(x)在(0,+∞)内可导.但不存在,,排除(A)、(D)项.
又设f(x)=sin x,则f(x)在(0,+∞)内有界且可导,,但,进一步排除(C)项.
故应选(B).
【错例分析】对于本题,有的考生选择(A),这是错误的.事实上,在题设条件下,若存在且是可能不存在的,如取,则



显然不存在.
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