设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则( )．

admin2019-08-27 55

问题设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则( )．

选项 A、
B、
C、
D、

答案B

解析【思路探索】本题可用拉格朗日中值定理直接证明选项(B)正确；还可通过举反例用排除法得结论．
对任意的a∈(0，+∞)，对y=f(x)在区间[a，x]上使用拉格朗日中值定理，得

因为f(x)在[a，x] ?(0，+∞)上有界，所以f(x)-f(a)有界．

故(B)正确．
排除法：
设f(x)=sin x²/x，则

，所以f(x)在(0，+∞)内有界，由于

可见f(x)在(0，+∞)内可导．但

不存在，

，排除(A)、(D)项．
又设f(x)=sin x，则f(x)在(0，+∞)内有界且可导，

，但

，进一步排除(C)项．
故应选(B)．
【错例分析】对于本题，有的考生选择(A)，这是错误的．事实上，在题设条件下，若

存在且

是可能不存在的，如取

，则

而

显然

不存在．

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考研数学二

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