已知BD为正方形A BCD对角线,M为BD上不同于B、D的一个动点,以AB为边在ABCD侧边作等边三角形ABE,以BM为边在BD左侧作等边三角形BMF,连接EF、AM、CM,当AM+BM+CM最短时,∠BCM=( )。

admin2017-12-18  11

问题 已知BD为正方形A BCD对角线,M为BD上不同于B、D的一个动点,以AB为边在ABCD侧边作等边三角形ABE,以BM为边在BD左侧作等边三角形BMF,连接EF、AM、CM,当AM+BM+CM最短时,∠BCM=(  )。

选项 A、15°
B、45°
C、30°
D、60°

答案A

解析 AM+BM+CM最短时,点E,M,C共线,且最短值等于线段EC的长度。证明:连接EC与BD交于点M,则∠BCE=(180°一∠EBC)=15°,VBME=∠DBC+∠BCE=45°+15°=60°,所以在ME上取点F使得FM=BM就得到题目中所说的等边△BMF。又△BEF△BAM(SAS),所以AM=EF。于是有AM+BM+CM=EF+FM+CM=EC。可以验证,此时的线段和是最短的。
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