设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(1)=k∫01/kxe1-xf(x)dx,其中k>1。证明:存在ξ∈(0,1)使f’(ξ)=(1-)f(ξ)成立。

admin2019-07-24  25

问题 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(1)=k∫01/kxe1-xf(x)dx,其中k>1。证明:存在ξ∈(0,1)使f’(ξ)=(1-)f(ξ)成立。

选项

答案令g(y)=k∫0yxe1-xf(x)dx,则g(0)=0,g(1/k)=f(1),由拉格朗日中值定理可知,存在η∈(0,1/k),使得 [*] 故kf(1)=kηe1-ηf(η),即f(1)=ηe1-ηf(η)。 再令φ(x)=xe1-xf(x),则φ(0)=0,φ(1)=f(1),所以φ(1)=f(1)=φ(η),由罗尔定理可知,存在ξ∈(η,1)[*](0,1),使得φ’(ξ)=0,即 ξe1-ξ[[*]f(ξ)-f(ξ)+f(’ξ)] 所以f’(ξ)=(1-[*])f(ξ)。

解析
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