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  3. 已知的一个特征向量． (1)试确定参数a，b及特征向量考所对应的特征值； (2)问A能否相似于对角阵?说明理由．

已知的一个特征向量． (1)试确定参数a，b及特征向量考所对应的特征值； (2)问A能否相似于对角阵?说明理由．

admin2014-01-26  53
问题 已知的一个特征向量．
    (1)试确定参数a，b及特征向量考所对应的特征值；
    (2)问A能否相似于对角阵?说明理由．
选项
答案(1)由题设，有Aξ＝λ0ξ，即 [*] 也即[*] 解得 A＝－3，B＝0，λ0＝－1． (2)由[*] 可见λ＝－1为A的三重根，但r(－E—A)＝2，从而λ＝－1对应的线性无关特征向量只有3－r(－E—A)＝1个，故A不可对角化．
解析 [分析]  已知特征向量ξ，一般从定义Aξ＝λ0ξ进行讨论；能否对角化，应先求出特征值，若特征值的重数与对应线性无关特征向量个数一致，则A可对角化，否则不可对角化．
[评注]  本题属特征值、特征向量的逆问题，一般已知特征向量ξ时，用定义Aξ＝λξ；而只知特征值λ0时，用｜λ0E—A｜＝0．
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考研数学二

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