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[2007年] 设线性方程组 (I)与方程 (Ⅱ)：x1+2x2+x3=a-1．有公共解．求a的值与所有公共解．

admin2021-01-25  77
问题 [2007年]  设线性方程组
    (I)与方程  (Ⅱ)：x1+2x2+x3=a-1．有公共解．求a的值与所有公共解．
选项
答案解一 将方程组(I)与方程(Ⅱ)联立得到 [*] 显然，方程组(Ⅲ)的解既满足方程组(I)，又满足方程(Ⅱ)，反之，方程组(I)与方程(Ⅱ)的公共解必满足方程组(Ⅲ)，因此为求方程组(I)与方程(Ⅱ)的公共解只需求方程(Ⅲ)的解即可． 用初等行变换将其增广矩阵[*]化为行阶梯形矩阵： [*] (1)当a=1时， [*] [*]方程组(Ⅲ)一个基础解系只含n－秩(A)=3－2=1个解向量α=[－1，0，1]T．因而方程组(I)与方程(Ⅱ)的所有公共解为kα(k为任意实数)． (2)当a=2时，秩(A)=秩[*]=3=n，方程组(Ⅲ)有唯一解，此时 [*] 故方程组(Ⅲ)的解为β=[0，1，－1]T，即方程组(I)与方程(Ⅱ)有唯一公共解为β=[0，1，－1]T． 解二 先求出方程组(I)的解，将其代入方程(Ⅱ)求出其公共解．方程组(I)的系数行列式为一个三阶范德蒙行列式，其值为 [*] (1)当a≠1且a≠2时，方程组(I)只有零解．此零解不满足方程(Ⅱ)，故a≠1且a≠2时方程组(I)与方程(Ⅱ)没有公共解． (2)当a=1时，D=0，方程组(I)的系数矩阵A的秩，秩(A)<3=n=未知数个数，有非零解．由 [*] 知，其基础解系只含一个解向量α1=[－1，0，1]T，所有解向量为k1α1，其中k1为任意常数．将此解代入方程(Ⅱ)，有 x1+2x2+x3=-k1+2·0+k1=0=a－1． 因而方程组(I)与方程(Ⅱ)的所有公共解为k1α1=[－k1，0，k1]T． 事实上，当a=1时，方程(Ⅱ)是方程组(I)的一个方程，方程组(I)的解都满足方程(Ⅱ)，所以当a=1时方程组(I)与方程(Ⅱ)的所有公共解为 k1α1=k1[－1，0，1]T，其中k1为任意常数． (3)当a=2时，D=0，则方程组(I)必有非零解，由 [*] 知，一个基础解系只含一个解向量α2=[0，－1，1]T．方程组(I)的所有解为k2α2=[0，－k2，k2]T． 将其代入方程(Ⅱ)，有 x1+2x2+x3=0－2k2+k2=－k2=a－1=1． 为此仅取k2=－1．因而当a=2时，其公共解为[0，1，－1]T这一个解．
解析
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