[2007年] 设线性方程组 (I)与方程 (Ⅱ):x1+2x2+x3=a-1.有公共解.求a的值与所有公共解.

admin2021-01-25  51

问题 [2007年]  设线性方程组
    (I)与方程  (Ⅱ):x1+2x2+x3=a-1.有公共解.求a的值与所有公共解.

选项

答案解一 将方程组(I)与方程(Ⅱ)联立得到 [*] 显然,方程组(Ⅲ)的解既满足方程组(I),又满足方程(Ⅱ),反之,方程组(I)与方程(Ⅱ)的公共解必满足方程组(Ⅲ),因此为求方程组(I)与方程(Ⅱ)的公共解只需求方程(Ⅲ)的解即可. 用初等行变换将其增广矩阵[*]化为行阶梯形矩阵: [*] (1)当a=1时, [*] [*]方程组(Ⅲ)一个基础解系只含n-秩(A)=3-2=1个解向量α=[-1,0,1]T.因而方程组(I)与方程(Ⅱ)的所有公共解为kα(k为任意实数). (2)当a=2时,秩(A)=秩[*]=3=n,方程组(Ⅲ)有唯一解,此时 [*] 故方程组(Ⅲ)的解为β=[0,1,-1]T,即方程组(I)与方程(Ⅱ)有唯一公共解为β=[0,1,-1]T. 解二 先求出方程组(I)的解,将其代入方程(Ⅱ)求出其公共解.方程组(I)的系数行列式为一个三阶范德蒙行列式,其值为 [*] (1)当a≠1且a≠2时,方程组(I)只有零解.此零解不满足方程(Ⅱ),故a≠1且a≠2时方程组(I)与方程(Ⅱ)没有公共解. (2)当a=1时,D=0,方程组(I)的系数矩阵A的秩,秩(A)<3=n=未知数个数,有非零解.由 [*] 知,其基础解系只含一个解向量α1=[-1,0,1]T,所有解向量为k1α1,其中k1为任意常数.将此解代入方程(Ⅱ),有 x1+2x2+x3=-k1+2·0+k1=0=a-1. 因而方程组(I)与方程(Ⅱ)的所有公共解为k1α1=[-k1,0,k1]T. 事实上,当a=1时,方程(Ⅱ)是方程组(I)的一个方程,方程组(I)的解都满足方程(Ⅱ),所以当a=1时方程组(I)与方程(Ⅱ)的所有公共解为 k1α1=k1[-1,0,1]T,其中k1为任意常数. (3)当a=2时,D=0,则方程组(I)必有非零解,由 [*] 知,一个基础解系只含一个解向量α2=[0,-1,1]T.方程组(I)的所有解为k2α2=[0,-k2,k2]T. 将其代入方程(Ⅱ),有 x1+2x2+x3=0-2k2+k2=-k2=a-1=1. 为此仅取k2=-1.因而当a=2时,其公共解为[0,1,-1]T这一个解.

解析
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