试证明n维列向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是行列式其中αiT表示列向量αi的转置，i=1，2，…，n．

admin2021-01-25 51

问题试证明n维列向量组α₁，α₂，…，α_n线性无关的充分必要条件是行列式

其中α_i^T表示列向量α_i的转置，i=1，2，…，n．

选项

答案记n阶矩阵A[α₁ α₂…α_n]，则α₁，α₂，…，α_n线性无关的充分必要条件是|A|≠0．另一方面，由 [*] 有|A^TA|=|A^T||A|=|A|²=D．从而，|A|≠0与D≠0等价．由此可见，α₁，α₂，…，α_n线性无关的充分必要条件是D≠0．

解析本题主要考查满秩方阵性质的应用及矩阵乘法的概念．注意，矩阵乘法的本质是“左行乘右列”，由此可知矩阵(α_i^Tα_j)_n×n的第i行[α_i^Tα₁ α_i^Tα₂…α_i^Tα_n]可以写成α_i^T[α₁ α₂…α_n]，因此可将矩阵(α_i^Tα_i)_n×n写成ATA的形式，从而建立起行列式D与|A|的关系，这是本题证明之关键．

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考研数学三

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