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奇函数f(x)(x∈R)满足f(一3)=0,且在区间[0,2]与[2,+∞)上分别是递减和递增,则不等式(1-x2)f(x)>0的解集( )。
奇函数f(x)(x∈R)满足f(一3)=0,且在区间[0,2]与[2,+∞)上分别是递减和递增,则不等式(1-x2)f(x)>0的解集( )。
admin
2015-11-18
48
问题
奇函数f(x)(x∈R)满足f(一3)=0,且在区间[0,2]与[2,+∞)上分别是递减和递增,则不等式(1-x
2
)f(x)>0的解集( )。
选项
A、(一∞,一3)∪(1,4)
B、(一∞,一3)∪(一1,0)∪(1,+∞)
C、(一∞,一3)∪(一1,1)∪(3,+∞)
D、(一∞,一3)∪(一1,0)∪(1,3)
答案
D
解析
函数f(x)是奇函数,故f(0)=0,又f(一3)=0,则f(3)=0,且函数图象关于原点对称,在区间[0,2]与[2,+∞)上分别是递减和递增,故函数图象在(一∞,一2)递增,在(一2,0)递减。图象如下:
因此(1-x
2
)f(x)>0时有两种情况:
①x
2
<1,且f(x)>0
所以
解得:x∈(一1,0)
②x
2
>1,且f(x)<0
所以
解得:x∈(一∞,一3)∪(1,3)
综上:不等式(1-x
2
)f(x)>0的解集为x∈(一∞,一3)∪(一1,0)∪(1,3)。
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