在区间[0，π]上讨论方程sin3xcosx＝a(a＞0)的实根的个数．

admin2021-04-07 105

问题在区间[0，π]上讨论方程sin³xcosx＝a(a＞0)的实根的个数．

选项

答案设f(x)＝sin³xcosx－a，则f(0)＝f(π)＝－a＜0，且f’(x)sin³x(2cos2x＋1)，f"(x)＝sin2x(4cos2x－1)。令f’(x)＝0，解得f(x)在(0，π)内的驻点为x＝π／3与x＝2π／3，又由于[*] 可见，[*]是极大值，[*]是极小值，因此，当a＜[*]时，方程有两根，分别位于区间(0，π／3)与(π／3，2π／3)内；当a＝[*]时，方程仅有唯一实根x₀＝π／3；当a＞[*]时，方程无实根。

解析

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