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  3. 设有定义在(－∞，+∞)上的函数： 则(Ⅰ)其中在定义域上连续的函数是________； (Ⅱ)以x=0为第二类间断点的函数是________．

设有定义在(－∞，+∞)上的函数： 则(Ⅰ)其中在定义域上连续的函数是________； (Ⅱ)以x=0为第二类间断点的函数是________．

admin2019-08-11  33
问题 设有定义在(－∞，+∞)上的函数：

则(Ⅰ)其中在定义域上连续的函数是________；
(Ⅱ)以x=0为第二类间断点的函数是________．
选项
答案B；D
解析 (Ⅰ)当x＞0与x＜0时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续．从而只需再考察哪个函数在点x=0处连续．注意到若f(x)=其中g(x)在(－∞，0]连续，h(x)在[0，+∞)连续．因f(x)=g(x)(x∈(－∞，0])=>f(x)在x=0左连续．若又有g(0)=h(0)=>f(x)=h(x)(x∈[0，+∞)) =>f(x)在x=0右连续．因此f(x)在x=0连续．B中的函数g(x)满足：sinx｜x=0=(cosx－1)｜x=0，又sinx，cosx－1均连续=>g(x)在x=0连续．因此，B中的g(x)在(－∞，+∞)连续．应选B．
(Ⅱ)关于A：由

=>x=0是f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．
关于(C)：由

=>x=0是h(x)的第一类间断点(可去间断点)．
已证B中g(x)在x=0连续．因此选D．
或直接考察D．由

=>x=0是m(x)的第二类间断点．
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考研数学二

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