设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα一2A2α．证明：矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆；

admin2014-02-06 67

问题设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A²α线性无关，且A3α=3Aα一2A²α．证明：
矩阵B=(α，Aα，A⁴α)可逆；

选项

答案由于A³α=3Aα一2A²α，故A⁴α=3A²α一2A³α=3A²α一2(3Aα一2A²α)=7A²α一6Aα．若k₁α+k₂Aα+k₃A⁴α=0，即k₁α+k₂Aα+k₃(7A²α一6Aα)=0，亦即k₁α+(k₂—6k₃)Aα+7k₃A²α=0，因为α，Aα，A²α线性无关，故[*]所以，α，Aα，A⁴α线性尤关，因而矩阵B可逆．

解析

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考研数学一

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设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．求A的特征值与特征向量；
设三阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，对应的特征向量依次为将β用ξ1，ξ2，ξ3线性表出；
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