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微分方程y’’+3y’+2y=e-x满足条件y(0)=1,y’(0)=1的特解为_________.
微分方程y’’+3y’+2y=e-x满足条件y(0)=1,y’(0)=1的特解为_________.
admin
2017-12-11
72
问题
微分方程y’’+3y’+2y=e
-x
满足条件y(0)=1,y’(0)=1的特解为_________.
选项
答案
y=2e
-x
-e
-2x
+xe
-x
解析
这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程求特解问题.
首先,求y’’+3y’+2y=0的通解.y’’+3y’+2y=0的特征方程为r
2
+3r+2=0,特征根为r
1
==1,r
2
=-2,所以其通解为y=C
1
e
-x
+C
2
e
-2x
.
其次,求y’’+3y’+2y=e
-x
的一个特解.因为-1是特征单根,故设y
*
=Axe
-x
是其一个特解,则
y
*
’=Ae
-x
-Axe
-x
, y
*
’’=2Ae
-x
+Axe
-x
,
将其代入到y’’+3y’+2y=e
-x
并化简,得A=1,所以y
*
=xe
-x
.
第三,写出y’’+3y’+2y=e
-x
的通解,为
y=Y+y
*
=-C
1
e
x
+C
2
e
-2x
+xe
-x
.
第四,求满足初始条件y(0)=1,y’(0)=1的特解.
y’=-C
1
e
-x
-2C
2
e
-2x
+e
-x
-xe
-x
,
由y(0)=1,y’(0)=1,得
解得C
1
=2,C
2
=-1,故所求特解为y=2e
-x
-e
-2x
+xe
-x
.
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考研数学一
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