微分方程y’’+3y’+2y=e-x满足条件y(0)=1,y’(0)=1的特解为_________.

admin2017-12-11  48

问题 微分方程y’’+3y’+2y=e-x满足条件y(0)=1,y’(0)=1的特解为_________.

选项

答案y=2e-x-e-2x+xe-x

解析 这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程求特解问题.
首先,求y’’+3y’+2y=0的通解.y’’+3y’+2y=0的特征方程为r2+3r+2=0,特征根为r1==1,r2=-2,所以其通解为y=C1e-x+C2e-2x
    其次,求y’’+3y’+2y=e-x的一个特解.因为-1是特征单根,故设y*=Axe-x是其一个特解,则
    y*’=Ae-x-Axe-x, y*’’=2Ae-x+Axe-x
将其代入到y’’+3y’+2y=e-x并化简,得A=1,所以y*=xe-x
    第三,写出y’’+3y’+2y=e-x的通解,为
y=Y+y*=-C1ex+C2e-2x+xe-x
    第四,求满足初始条件y(0)=1,y’(0)=1的特解.
y’=-C1e-x-2C2e-2x+e-x-xe-x
由y(0)=1,y’(0)=1,得

解得C1=2,C2=-1,故所求特解为y=2e-x-e-2x+xe-x
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