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已知实二二次型f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩阵A=(aij)3×3，则( )
已知实二二次型f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩阵A=(aij)3×3，则( )
admin
2020-03-01
81
问题
已知实二二次型f=(a
11
x
1
+a
12
x
2
+a
13
x
3
)
2
+(a
21
x
1
+a
22
x
2
+a
23
x
3
)
2
+(a
31
x
1
+a
32
x
2
+a
33
x
3
)
2
正定，矩阵A=(a
ij
)
3×3
，则( )
选项
A、A是正定矩阵。
B、A是可逆矩阵。
C、A是不可逆矩阵。
D、以上结论都不对。
答案
B
解析
f=(a
11
x
1
+a
12
x
2
+a
13
x
3
)
2
+(a
21
x
1
+a
22
x
2
+a
23
x
3
)
2
+(a
31
x
1
+a
32
x
2
+a
33
x
3
)
2
=x
T
A
T
Ax=(Ax)
T
(Ax)。
因为实二次型f正定，所以对任意x≠0，f＞0的充要条件是Ax≠0，即齐次线性方程组Ax=0只有零解，故A是可逆矩阵。
所以选B。
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