若行列式的每个元素都加1，则行列式值的增量为所有代数余子式之和.

admin2018-11-22 75

问题若行列式的每个元素都加1，则行列式值的增量为所有代数余子式之和.

选项

答案设原来行列式的列向量依次为α₁，α₂，…，α_s，记β=(1，1，…，1)^T．则改变后的行列式为|α₁+β，α₂+β，…，α_s+β|．对它分解(用性质⑤，先分解第1列，分为2个行列式，它们都对第2列分解，成4个行列式，…)分为2ⁿ个行列式之和，这些行列式的第j列或为β，或为α_j，考虑到当有两列为β时值为0，除去它们，|α₁+β，α₂+β，…，α_s+β|是n+1个行列式之和，它们是：恰有1列为β，而其它各列都不是(这样的有n个)，还有一个是|α₁，α₂，…，α_s|即原来行列式．于是 |α₁+β，α₂+β，…，α_s+β|－|α₁，α₂，…，α_s| [*]

解析

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考研数学一

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