(18年)设平面区域D由曲线,(0≤t≤2π)与x轴围成,计算二重积分(x+2y)dxdy.

admin2018-07-27  30

问题 (18年)设平面区域D由曲线,(0≤t≤2π)与x轴围成,计算二重积分(x+2y)dxdy.

选项

答案[*] 因为D关于直线x=π对称,所以[*] 设曲线[*](0≤t≤2π)的直角坐标方程为y=y(x)(0≤x≤2π),则 [*]=∫0dx∫0y(x)(2y+π)dy =∫0π[y2(x)+πy(x)]dx 又 ∫0y2(x)dx=∫0(1-cost)3dt =∫0(1—3cost+3cos2t—cos3t)dt =5π ∫0y(x)dx=∫0(1一cost)2dt =∫0(1—2cost+cos2t)dt =3π 所以[*](x+2y)dxdy=π(5+3π).

解析
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