(18年)设平面区域D由曲线，(0≤t≤2π)与x轴围成，计算二重积分(x+2y)dxdy．

admin2018-07-27 27

问题 (18年)设平面区域D由曲线

，(0≤t≤2π)与x轴围成，计算二重积分

(x+2y)dxdy．

选项

答案[*] 因为D关于直线x=π对称，所以[*] 设曲线[*](0≤t≤2π)的直角坐标方程为y=y(x)(0≤x≤2π)，则 [*]=∫₀^2πdx∫₀^y(x)(2y+π)dy =∫₀^π[y²(x)+πy(x)]dx 又 ∫₀^2πy²(x)dx=∫₀^2π(1-cost)³dt =∫₀^2π(1—3cost+3cos²t—cos³t)dt =5π ∫₀^2πy(x)dx=∫₀^2π(1一cost)²dt =∫₀^2π(1—2cost+cos²t)dt =3π 所以[*](x+2y)dxdy=π(5+3π)．

解析

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