设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0，求f(x)．

admin2019-04-22 40

问题设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f’(x)+3∫₀^xf’(t)dt+2x∫₀¹f(tx)dt+e^-x=0，求f(x)．

选项

答案因为x∫₀¹f(tx)dt=∫₀^xf(u)du，所以f’(x)+3∫₀^xf’(t)dt+2x∫₀¹(tx)dt+e^-x=0可化为f’(x)+3∫₀^xf’(t)dt+2∫₀^xf(t)dt+e^-x=0，两边对x求导得f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=e^-x，由λ²+3λ+2=0得λ₁=-1，λ₂=-2，则方程f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=0的通解为C₁e^-x+C₂e^-2x．令f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=e^-x的一个特解为y₀=axe^-x，代入得a=1，则原方程的通解为f(x)=C₁e^-x+C₂e^-2x+xe^-x．由f(0)=1，f’(0)=-1得C₁=0，C₂=1，故原方程的解为f(x)=e^-2x+xe^-x．

解析

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考研数学二

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