设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)＝f(1)＝0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得．

admin2019-11-25 77

问题设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)＝f(1)＝0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得

．

选项

答案令φ(x)＝(x－1)²f’(x)，显然φ(x)在[0，1]上可导．由f(0)＝f(1)＝0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)＝0，再由φ(c)＝φ(1)＝0，根据罗尔定理，存在ξ∈(c，1)[*](0，1)，使得φ’(ξ)＝0，而φ’(x)＝2(x－1)f’(x)＋(x－1)²f”(x)，所以2(ξ－1)f’(ξ)＋(ξ－1)²f”(ξ)＝0，整理得f”(ξ)＝[*]．

解析

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