二阶微分方程y’’+y=10e2x满足条件y(0)=0，y’(0)=1的特解是y=_________________________。

admin2018-11-16 72

问题二阶微分方程y^’’+y=10e^2x满足条件y(0)=0，y^’(0)=1的特解是y=_________________________。

选项

答案2e^2x-2cosx-3sinx

解析本题中微分方程的特征方程是λ²+1=0，特征根是λ=i与λ=-i，由方程的右端项10e^2x即知可设方程具有形式为y^*=Ae^2x的特解，从而方程通解的形式为y=C₁cosx+C₂sinx+Ae^2x。
计算可得y^’’=-C₁cosx-C₂sinx+4Ae^2x。
把y与y^’’代入方程就有y^’’+y=5Ae^2x。
令5A=10即A=2即得方程的通解为y=C₁cosx+C₂sinx+2e^2x。
分别令y(0)=C₁+2=0与y^’(0)=C₂+4=1又可确定常数C₁=-2，C₂=-3。故所求的特解是y=2e^2x-2cosx-3sinx。

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