设随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，Y＝X2，求Y的概率密度fY(y)．

admin2018-06-12 37

问题设随机变量X服从正态分布N(0，σ²)，Y＝X²，求Y的概率密度f_Y(y)．

选项

答案由于函数y＝g(χ)＝χ²在(－∞，＋∞)内不是单调函数，我们用分布函数法求Y的概率密度．显然当y≤0时，F_Y(y)＝P{Y≤y}＝0．当y＞0时，F_Y(y)＝P{Y≤y}＝P{X²≤y}＝P{｜X｜≤[*]}．由于X～N(0，σ²)，故X／σ～N(0，1)．由于 [*] 将F_Y(y)对y求导数，得Y的概率密度函数为 [*] 其中Ф(χ)与Ф(χ)分别表示标准正态分布的分布函数与概率密度．

解析

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