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已知函数f(x,y)满足f”xy(x,y)=2(y+1)ex,f’x(x,0)=(x+1)ex,f(0,y)=y2+2y,求f(x,y)的极值.
已知函数f(x,y)满足f”xy(x,y)=2(y+1)ex,f’x(x,0)=(x+1)ex,f(0,y)=y2+2y,求f(x,y)的极值.
admin
2022-07-21
77
问题
已知函数f(x,y)满足f”
xy
(x,y)=2(y+1)e
x
,f’
x
(x,0)=(x+1)e
x
,f(0,y)=y
2
+2y,求f(x,y)的极值.
选项
答案
等式f’’
xy
(x,y)=2(y+1)e
x
两边对y积分,得 f’
x
(x,y)=2([*]y
2
+y)e
x
+φ(x)=(y
2
+2y)e
x
+φ(x) 再由已知条件f’
x
(x,0)=(x+1)e
x
,可得f’
x
(x,0)=φ(x)=(x+1)e
x
,即φ(x)=(x+1)e
x
,因此可求得 f’
x
(x,y)=(y
2
+2y)e
x
+e
x
(1+x) 上式两边关于x积分,得 f(x,y)=(y
2
+2y)e
x
+∫e
x
(1+x)dx=(y
2
+2y)e
x
+∫(1+x)de
x
=(y
2
+2y)e
x
+(1+x)e
x
-∫e
x
dx=(y
2
+2y)e
x
+(1+x)e
x
-e
x
+C =(y
2
+2y)e
x
+xe
x
+C 由f(0,y)=y
2
+2y+C=y
2
+2y,求得C=0.所以f(x,y)=(y
2
+2y)e
x
+xe
x
.令 [*] 求得x=0,y=-1.又f’’
xx
=(y
2
+2y)e
x
+2e
x
+xe
x
,f’’
xy
=2(y+1)e
x
,f’’
yy
=2e
x
.当x=0,y=-1时,A=f’’
xx
(0,-1)=1,B=f’’
xy
(0,-1)=0,C=f’’
yy
(0,-1)=2,AC-B
2
>0,因此f(0,-1)=-1为极小值.
解析
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考研数学二
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