2. 考研
  3. 已知函数f(x，y)满足f”xy(x，y)=2(y+1)ex，f’x(x，0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y，求f(x，y)的极值．

已知函数f(x，y)满足f”xy(x，y)=2(y+1)ex，f’x(x，0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y，求f(x，y)的极值．

admin2022-07-21  28
问题 已知函数f(x，y)满足f”xy(x，y)=2(y+1)ex，f’x(x，0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y，求f(x，y)的极值．
选项
答案等式f’’xy(x，y)=2(y+1)ex两边对y积分，得 f’x(x，y)=2([*]y2+y)ex+φ(x)=(y2+2y)ex+φ(x) 再由已知条件f’x(x，0)=(x+1)ex，可得f’x(x，0)=φ(x)=(x+1)ex，即φ(x)=(x+1)ex，因此可求得 f’x(x，y)=(y2+2y)ex+ex(1+x) 上式两边关于x积分，得 f(x，y)=(y2+2y)ex+∫ex(1+x)dx=(y2+2y)ex+∫(1+x)dex =(y2+2y)ex+(1+x)ex-∫exdx=(y2+2y)ex+(1+x)ex-ex+C =(y2+2y)ex+xex+C 由f(0，y)=y2+2y+C=y2+2y，求得C=0．所以f(x，y)=(y2+2y)ex+xex．令 [*] 求得x=0，y=-1．又f’’xx=(y2+2y)ex+2ex+xex，f’’xy=2(y+1)ex，f’’yy=2ex．当x=0，y=-1时，A=f’’xx(0，-1)=1，B=f’’xy(0，-1)=0，C=f’’yy(0，-1)=2，AC-B2＞0，因此f(0，-1)=-1为极小值．
解析
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考研数学二

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