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已知函数f(x，y)满足f”xy(x，y)=2(y+1)ex，f’x(x，0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y，求f(x，y)的极值．
已知函数f(x，y)满足f”xy(x，y)=2(y+1)ex，f’x(x，0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y，求f(x，y)的极值．
admin
2022-07-21
44
问题
已知函数f(x，y)满足f”
xy
(x，y)=2(y+1)e
x
，f’
x
(x，0)=(x+1)e
x
，f(0，y)=y
2
+2y，求f(x，y)的极值．
选项
答案
等式f’’
xy
(x，y)=2(y+1)e
x
两边对y积分，得 f’
x
(x，y)=2([*]y
2
+y)e
x
+φ(x)=(y
2
+2y)e
x
+φ(x) 再由已知条件f’
x
(x，0)=(x+1)e
x
，可得f’
x
(x，0)=φ(x)=(x+1)e
x
，即φ(x)=(x+1)e
x
，因此可求得 f’
x
(x，y)=(y
2
+2y)e
x
+e
x
(1+x) 上式两边关于x积分，得 f(x，y)=(y
2
+2y)e
x
+∫e
x
(1+x)dx=(y
2
+2y)e
x
+∫(1+x)de
x
=(y
2
+2y)e
x
+(1+x)e
x
-∫e
x
dx=(y
2
+2y)e
x
+(1+x)e
x
-e
x
+C =(y
2
+2y)e
x
+xe
x
+C 由f(0，y)=y
2
+2y+C=y
2
+2y，求得C=0．所以f(x，y)=(y
2
+2y)e
x
+xe
x
．令 [*] 求得x=0，y=-1．又f’’
xx
=(y
2
+2y)e
x
+2e
x
+xe
x
，f’’
xy
=2(y+1)e
x
，f’’
yy
=2e
x
．当x=0，y=-1时，A=f’’
xx
(0，-1)=1，B=f’’
xy
(0，-1)=0，C=f’’
yy
(0，-1)=2，AC-B
2
＞0，因此f(0，-1)=-1为极小值．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/rGf4777K
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