已知函数f(x，y)满足f”xy(x，y)=2(y+1)ex，f’x(x，0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y，求f(x，y)的极值．

admin2022-07-21 45

问题已知函数f(x，y)满足f”_xy(x，y)=2(y+1)e^x，f’_x(x，0)=(x+1)e^x，f(0，y)=y²+2y，求f(x，y)的极值．

选项

答案等式f’’_xy(x，y)=2(y+1)e^x两边对y积分，得 f’_x(x，y)=2([*]y²+y)e^x+φ(x)=(y²+2y)e^x+φ(x) 再由已知条件f’_x(x，0)=(x+1)e^x，可得f’_x(x，0)=φ(x)=(x+1)e^x，即φ(x)=(x+1)e^x，因此可求得 f’_x(x，y)=(y²+2y)e^x+e^x(1+x) 上式两边关于x积分，得 f(x，y)=(y²+2y)e^x+∫e^x(1+x)dx=(y²+2y)e^x+∫(1+x)de^x =(y²+2y)e^x+(1+x)e^x-∫e^xdx=(y²+2y)e^x+(1+x)e^x-e^x+C =(y²+2y)e^x+xe^x+C 由f(0，y)=y²+2y+C=y²+2y，求得C=0．所以f(x，y)=(y²+2y)e^x+xe^x．令 [*] 求得x=0，y=-1．又f’’_xx=(y²+2y)e^x+2e^x+xe^x，f’’_xy=2(y+1)e^x，f’’_yy=2e^x．当x=0，y=-1时，A=f’’_xx(0，-1)=1，B=f’’_xy(0，-1)=0，C=f’’_yy(0，-1)=2，AC-B²＞0，因此f(0，-1)=-1为极小值．

解析

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考研数学二

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