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设A,B为n阶矩阵,则下列结论正确的是( ).
设A,B为n阶矩阵,则下列结论正确的是( ).
admin
2020-07-31
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问题
设A,B为n阶矩阵,则下列结论正确的是( ).
选项
A、若A
2
~B
2
,则A~B
B、矩阵A的秩与A的非零特征值的个数相等
C、若A,B的特征值相同,则A~B
D、若A~B,且A可相似对角化,则B可相似对角化
答案
D
解析
由A~B得A,B的特征值相同,设为λ
1
,λ
2
,…,λ
n
,且存在可逆矩阵P
1
,使得P
1
-1
AP
1
=B,即A=P
1
BP
1
-1
;
因为A可相似对角化,所以存在可逆矩阵P
2
,使得P
2
-1
AP
2
=
,
即A=P
2
P
2
-1
,于是有
P
1
BP
1
-1
=P
2
P
2
-1
,或P
2
-1
P
1
BP
1
-1
P
2
=
,
取P=P
1
-1
P
2
,则P
-1
BP=
,即B可相似对角化.故选D
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考研数学二
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