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设f(x)在[0,1]上连续,f(0)=0,∫01f(x)dx=0.证明:存在ξ∈(0,1),使得∫0ξf(x)dx=ξf(ξ).
设f(x)在[0,1]上连续,f(0)=0,∫01f(x)dx=0.证明:存在ξ∈(0,1),使得∫0ξf(x)dx=ξf(ξ).
admin
2016-10-24
23
问题
设f(x)在[0,1]上连续,f(0)=0,∫
0
1
f(x)dx=0.证明:存在ξ∈(0,1),使得∫
0
ξ
f(x)dx=ξf(ξ).
选项
答案
令φ(x)=[*] 因为f(x)在[0,1]上连续,所以φ(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,又φ(0)=0,φ(1)=∫
0
1
f(x)dx=0,由罗尔定理,存在t∈(0,1),使得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=[*] 所以∫
0
ξ
f(x)dx=ξf(ξ).
解析
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0
考研数学三
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