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设向量组α1=(1,1,1,3)T,α2=(一1,一3,5,1)T,α3=(3,2,一1,n+2)T.α4=(一2,一6,10,α)T. (1)α为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量α=(4,1,6,10)T用α1,α2,α3,α4线性表出;
设向量组α1=(1,1,1,3)T,α2=(一1,一3,5,1)T,α3=(3,2,一1,n+2)T.α4=(一2,一6,10,α)T. (1)α为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量α=(4,1,6,10)T用α1,α2,α3,α4线性表出;
admin
2020-07-02
63
问题
设向量组α
1
=(1,1,1,3)
T
,α
2
=(一1,一3,5,1)
T
,α
3
=(3,2,一1,n+2)
T
.α
4
=(一2,一6,10,α)
T
.
(1)α为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量α=(4,1,6,10)
T
用α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表出;
(2)α为何值时,该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组.
选项
答案
对矩阵A=[α
1
α
2
α
3
α
4
∣ α]作初等行变换,化为阶梯形: [*] (1)当a≠2时,矩阵A=[α
1
α
2
α
3
α
4
]的秩为4,即向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关.此时设x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=α,解得(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=[*],即有 [*] (2)当α=2时,向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,此时该向量组的秩为3,{α
1
,α
2
,α
3
}(或{α
1
,α
3
,α
4
})为其一个极大无关组.
解析
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考研数学三
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