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设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且f(0)=f(),2f(x)dx=f(2).证明存在ξ∈(0,2),使f″(ξ)=0.
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且f(0)=f(),2f(x)dx=f(2).证明存在ξ∈(0,2),使f″(ξ)=0.
admin
2016-11-03
12
问题
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且f(0)=f(
),2
f(x)dx=f(2).证明存在ξ∈(0,2),使f″(ξ)=0.
选项
答案
由积分中值定理2[*]f(x)dx=2.(1一[*]≤η≤1.于是f(x)在[η,2]上满足罗尔定理,即存在ξ
1
∈(η,2),使 f′(ξ
1
)=0. ① 又f(x)在[0,[*]]满足罗尔定理,于是存在ξ
2
∈(0,[*]),使 f′(ξ
2
)=0. ② 由式①、式②得到f′(ξ
1
)=f′(ξ
2
).再对f′(x)在[ξ
2
,ξ
1
]上使用罗尔定理,得到ξ∈(ξ
2
,ξ
1
)[*](0,2),使f″(ξ)=0. 注意 题设条件或待证结论中含有定积分等式时,要想到使用积分中值定理,有多个函数值相等时,要想到使用罗尔定理.
解析
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考研数学一
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