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如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形． 求该椭圆的离心率和标准方程；
如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形． 求该椭圆的离心率和标准方程；
admin
2019-08-05
5
问题
如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F
1
，F
2
，线段OF
1
，OF
2
的中点分别为B
1
，B
2
，且△AB
1
B
2
是面积为4的直角三角形．
求该椭圆的离心率和标准方程；
选项
答案
如图，设所求椭圆的标准方程为[*]=1(a＞b＞0)，右焦点为F
2
(c，0)．因△AB
1
B
2
是直角三角形，又∵｜AB
1
｜=｜AB
2
｜，故∠B
1
AB
2
为直角，｜OA｜=｜OB
2
｜，得b=[*]．结合c
2
=a
2
一b
2
得4b
2
=a
2
－b
2
，故a
2
=5b
2
，c
2
=4b
2
．所以离心率e=[*]，在Rt△AB
1
B
2
中，OA⊥B
1
B
2
．故S
△AB
1
B
2
=[*]．｜B
1
B
2
｜．｜OA｜=｜OB
2
｜．｜OA｜=[*]．b=b
2
，由题设条件S
△AB
1
B
2
=4得b
2
=4，从而a
2
=5b
2
=20．因此所求椭圆的标准方程为：[*]=1． [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/rYBq777K
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