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[2014年] 设随机变量X,Y的概率分布相同,X的概率分布为且X与Y的相关系数 求(X,Y)的概率分布;
[2014年] 设随机变量X,Y的概率分布相同,X的概率分布为且X与Y的相关系数 求(X,Y)的概率分布;
admin
2019-05-11
65
问题
[2014年] 设随机变量X,Y的概率分布相同,X的概率分布为
且X与Y的相关系数
求(X,Y)的概率分布;
选项
答案
解一 由已知[*]由命题(3.3.1.3)即可写出E(X)=E(Y)=2/3,D(X)=D(Y)=2/3(1-2/3)=2/9.又由相关系数 [*] 可求得E(XY)=5/9.由命题(3.3.1.3)知E(XY)=P(X=1,Y=1)=5/9.根据已知边缘分布及P(X=1,Y=1)=5/9可设联合分布为 [*] 再由边缘分布与联合分布的关系即得p
12
=2/3-5/9=1/9,p
21
=2/3-5/9=1/9 p
11
=1/3=p
12
=1/3-1/9=2/9,故得到(X,Y)的概率分布如下表所示: [*] 解二 考虑到事件[*]为一完备事件组可用全集分解式求出(X,Y)的概率分布,为此令事件B={Y=0),事件[*]由解一知 p
22
=P(X=1,Y=1)=P({X=1}∩{Y=1})=[*]=5/9, 利用此可求出其余的概率元素.由[*]得P[*]即 P(X=1)=P(X=1,Y=0)4-P(X=1,Y=1), 于是2/3=P(X=1,Y=0)+5/9,故p
21
=p(X=1,Y=0)=1/9. 同样由[*]得[*]即[*]亦即 p
12
=P(X=0,Y=1)=P({X=1)-{Y=1})=2/3一5/9=1/9 由B=AB+AB得[*]即 P(Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=0),于是1/3=P(X=0,Y=0)+1/9, 故p
11
=P(X=0,Y=0)=1/3-1/9=2/9,因而得到(X,Y)的概率分布如上表所示. 注:命题3.3.1.3 已知(X
1
,X
2
)的联合分布律,其中单个随机变量X
1
与X
2
分别服从参数为p
1
,p
2
的0-1分布,则E(X
1
)=E(X
1
2
)=p
1
,E(X
2
)=E(X
2
2
)=p
2
,D(X
1
)=p
1
(1-p
1
),D(X
2
)=p
2
(1-p
2
),E(X
1
X
2
)=P(X
1
=1,X
2
=1).
解析
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考研数学三
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