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  3. [2014年] 设随机变量X，Y的概率分布相同，X的概率分布为且X与Y的相关系数 求(X，Y)的概率分布；

[2014年] 设随机变量X，Y的概率分布相同，X的概率分布为且X与Y的相关系数 求(X，Y)的概率分布；

admin2019-05-11  62
问题 [2014年]  设随机变量X，Y的概率分布相同，X的概率分布为且X与Y的相关系数
求(X，Y)的概率分布；
选项
答案解一 由已知[*]由命题(3．3．1．3)即可写出E(X)=E(Y)=2／3，D(X)=D(Y)=2／3(1－2／3)=2／9．又由相关系数 [*] 可求得E(XY)=5／9．由命题(3．3．1．3)知E(XY)=P(X=1，Y=1)=5／9．根据已知边缘分布及P(X=1，Y=1)=5／9可设联合分布为 [*] 再由边缘分布与联合分布的关系即得p12=2／3－5／9=1／9，p21=2／3－5／9=1／9 p11=1／3=p12=1／3－1／9=2／9，故得到(X，Y)的概率分布如下表所示： [*] 解二 考虑到事件[*]为一完备事件组可用全集分解式求出(X，Y)的概率分布，为此令事件B={Y=0)，事件[*]由解一知 p22=P(X=1，Y=1)=P({X=1}∩{Y=1})=[*]=5／9， 利用此可求出其余的概率元素．由[*]得P[*]即 P(X=1)=P(X=1，Y=0)4-P(X=1，Y=1)， 于是2／3=P(X=1，Y=0)+5／9，故p21=p(X=1，Y=0)=1／9． 同样由[*]得[*]即[*]亦即 p12=P(X=0，Y=1)=P({X=1)－{Y=1})=2／3一5／9=1／9 由B=AB+AB得[*]即 P(Y=0)=P(X=0，Y=0)+P(X=1，Y=0)，于是1／3=P(X=0，Y=0)+1／9， 故p11=P(X=0，Y=0)=1／3－1／9=2／9，因而得到(X，Y)的概率分布如上表所示． 注：命题3．3．1．3 已知(X1，X2)的联合分布律，其中单个随机变量X1与X2分别服从参数为p1，p2的0-1分布，则E(X1)=E(X12)=p1，E(X2)=E(X22)=p2，D(X1)=p1(1－p1)，D(X2)=p2(1－p2)，E(X1X2)=P(X1=1，X2=1)．
解析
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考研数学三

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