设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零．证明：A为正定矩阵．

admin2018-01-23 38

问题设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零．证明：A为正定矩阵．

选项

答案A所对应的二次型为f＝X^TAX，因为A是实对称矩阵，所以存在正交变换X＝QY，使得 f＝X^TAX[*]λ₁y₁²＋λ₂y₂²＋…＋λ_ny_n²，其中λ_i＞0(i＝1，2，…，n)，对任意的X≠O，因为X＝Qy，所以Y＝Q^TX≠0，于是f＝λ₁y₁²＋λ₂y₂²＋…＋λ_ny_n²＞0，即对任意的X≠0有X^TAX＞0，所以X^TAX为正定二次型，故A为正定矩阵．

解析

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