2. 考研
  3. 设A是n阶正定矩阵，B是n阶反对称矩阵，则矩阵A—B2是①对称阵，②反对称阵，③可逆阵，④正定阵，四个结论中，正确的个数是 ( )

设A是n阶正定矩阵，B是n阶反对称矩阵，则矩阵A—B2是①对称阵，②反对称阵，③可逆阵，④正定阵，四个结论中，正确的个数是 ( )

admin2018-03-30  113
问题 设A是n阶正定矩阵，B是n阶反对称矩阵，则矩阵A—B2是①对称阵，②反对称阵，③可逆阵，④正定阵，四个结论中，正确的个数是    (    )
选项 A、1．
B、2．
C、3．
D、4．
答案C
解析 因    (A—BT)T=AT+[(一B)B]T=AT+(BTB)T
    =AT+BTB=A—B2，
  故A—BT是对称阵．
  又任给x≠0，则有
    xT(A—B2)x=xTAx—xT(一B)TBx=xTAx+(Bx)TBx，
  A正定，xTAx＞0，(Bx)T(Bx)≥0．则xT(A—B2)x＞0，故A—B2是正定阵．
  A—B2是正定阵，则A—B2是可逆阵，故结论①，③，④正确，应选(C)．
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考研数学三

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