设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0。记n阶矩阵A=αβT。求矩阵A的特征值和特征向量。

admin2019-05-11 107

问题设向量α=(a₁，a₂，…，a_n)^T，β=(b₁，b₂，…，b_n)^T都是非零向量，且满足条件α^Tβ=0。记n阶矩阵A=αβ^T。
求矩阵A的特征值和特征向量。

选项

答案设λ为A的特征值，则λ²为A²的特征值。因A²=O，所以A²的特征值全为零，故λ=0，即A的特征值全为零，于是方程组Ax=0的非零解就是A的特征向量。不妨设a₁≠0，b₁≠0，对A作初等行变换得 [*] 则Ax=0的基础解系为(一b₂，b₁，0，…，0)^T，(一b₃，0，b₁，…，0)^T，…，(一b_m，0，0，…，b₁)^T，故矩阵A的特征向量为k₁(一b₂，b₁，0，…，0)^T+k₂(一b₃，0，b₁，…，0)^T+…+k_n-1(一b_n，0，0，…，b₁)^T其中k₁，k₂，…，k_n-1不全为零。

解析

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考研数学二

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设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0。记n阶矩阵A=αβT。求矩阵A的特征值和特征向量。

考研数学二

设u＝u(χ，y)二阶连续可偏导，且，若u(χ，3χ)＝χ，u′χ(χ，3χ)＝χ，则u〞χy(χ，3χ)＝_______．

设f(χ)在[a，＋∞)上连续，f(a)＜0，而f(χ)存在且大于零．证明：f(χ)在(a，＋∞)内至少有一个零点．

设函数y＝y(χ)由确定，则y＝y(χ)在χ＝ln2处的法线方程为_______．

求微分方程y〞＋4y′＋4y＝eaχ的通解．

求微分方程χy＝χ2＋y2满足条件y｜χ＝e＝2e的特解．

设方程组有无穷多个解，为矩阵A的分别属于特征值λ1＝1，λ2＝－2，λ3＝－1的特征向量．(1)求A；(2)求｜A3＋3E｜．

微分方程掣＝y(χy－χ＋y－1)的通解为________．

曲线(χ－1)3＝y2上点(5，8)处的切线方程是________．

蝶下颌韧带附着于

患者小便短赤灼热，尿血鲜红，心烦口渴，舌红，脉数。其证候是

直埋蒸汽管道的工作管，应采用有补偿的敷设方式，钢质外护管宜采用无补偿方式敷设。钢质外护管必须进行外防腐，必须设置()。

（）是衡量银行资产质量的最重要指标。

根据《全国人大组织法》的规定，下列属于可以被质询的对象有()。

简述地役权和相邻关系的区别。

中国共产党与各民主党派合作的基本方针包括()

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