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已知ξ1=(0,0,1,0)T,ξ2=(-1,1,0,1)T是齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系,η1=(0,1,1,0)T,η2=(-1,2,2,1)T是齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系,求齐次线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解.
已知ξ1=(0,0,1,0)T,ξ2=(-1,1,0,1)T是齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系,η1=(0,1,1,0)T,η2=(-1,2,2,1)T是齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系,求齐次线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解.
admin
2016-10-20
78
问题
已知ξ
1
=(0,0,1,0)
T
,ξ
2
=(-1,1,0,1)
T
是齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系,η
1
=(0,1,1,0)
T
,η
2
=(-1,2,2,1)
T
是齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系,求齐次线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解.
选项
答案
1°设齐次线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解是γ,则 y=c
1
ξ
1
+c
2
ξ
2
=d
1
η
1
+d
2
η
2
, 从而c
1
ξ
1
+c
2
ξ
2
-d
1
η
1
-d
2
η
2
=0.解齐次线性方程组(Ⅲ)(ξ
1
,ξ
2
,-η
1
,-η
2
)x=0,由 (ξ
1
,ξ
2
,-η
1
,-η
2
)=[*] 得(Ⅲ)的通解为t(1,1,-1,1)
T
,即c
1
=c
2
=t,d
1
=-t,d
2
=t. 从而方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)有非零公共解T(ξ
1
+ξ
2
)=t(-1,1,1,1)
T
. 2°若(Ⅱ)的解l
1
η
1
+l
2
η
2
=(-l
2
,l
1
+2l
2
,l
1
+2l
2
,l
2
)
T
是公共解,则它可由(Ⅰ)的基础解系ξ
1
,ξ
2
线性表出. [*] 可见l
1
=-l
2
时,r(ξ
1
,ξ
2
,l
1
η
1
+l
2
η
2
)=r(ξ
1
,ξ
2
)=2. 故公共解是l(η
1
-η
2
)=l(1,-1,-1,-1)
T
.
解析
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考研数学三
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