2. 考研
  3. 已知ξ1=(0，0，1，0)T，ξ2=(-1，1，0，1)T是齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系，η1=(0，1，1，0)T，η2=(-1，2，2，1)T是齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系，求齐次线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解．

已知ξ1=(0，0，1，0)T，ξ2=(-1，1，0，1)T是齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系，η1=(0，1，1，0)T，η2=(-1，2，2，1)T是齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系，求齐次线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解．

admin2016-10-20  125
问题 已知ξ1=(0，0，1，0)T，ξ2=(-1，1，0，1)T是齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系，η1=(0，1，1，0)T，η2=(-1，2，2，1)T是齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系，求齐次线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解．
选项
答案1°设齐次线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解是γ，则 y=c1ξ1+c2ξ2=d1η1+d2η2， 从而c1ξ1+c2ξ2-d1η1-d2η2=0．解齐次线性方程组(Ⅲ)(ξ1，ξ2，-η1，-η2)x=0，由 (ξ1，ξ2，-η1，-η2)=[*] 得(Ⅲ)的通解为t(1，1，-1，1)T，即c1=c2=t，d1=-t，d2=t． 从而方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)有非零公共解T(ξ1+ξ2)=t(-1，1，1，1)T． 2°若(Ⅱ)的解l1η1+l2η2=(-l2，l1+2l2，l1+2l2，l2)T是公共解，则它可由(Ⅰ)的基础解系ξ1，ξ2线性表出． [*] 可见l1=-l2时，r(ξ1，ξ2，l1η1+l2η2)=r(ξ1，ξ2)=2． 故公共解是l(η1-η2)=l(1，-1，-1，-1)T．
解析
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考研数学三

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