(Ⅰ)设0<x<+∞,证明存在η,0<η<1,使; (Ⅱ)求出(Ⅰ)中η关于x的具体函数表达式η=η(x),并求出当0<x<+∞时,函数η(x)的值域.

admin2020-07-03  27

问题 (Ⅰ)设0<x<+∞,证明存在η,0<η<1,使
(Ⅱ)求出(Ⅰ)中η关于x的具体函数表达式η=η(x),并求出当0<x<+∞时,函数η(x)的值域.

选项

答案(Ⅰ)取f(x)=[*],由拉格朗日中值定理有 f(x+1)-f(x)=f′(ξ)(x+1-x), 即 [*] 其中x<ξ<x+1,ξ=x+η,0<η<1. (Ⅱ) 由(Ⅰ)有 [*] 两边平方 x+1+x+2[*]=4(x+η), [*] 所以η(x)在区间(0,+∞)上严格单调增加.又 [*] 所以值域为[*]

解析
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