设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组,(Ⅰ)的系数矩阵为 (Ⅱ)的一个基础解系为η1=(2,-1,a+2,1)T,η2=(-1,2,4,a+8)T. (1)求(Ⅰ)的一个基础解系; (2)a为什么值时(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求出全部公共非零解

admin2019-05-11  34

问题 设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组,(Ⅰ)的系数矩阵为

(Ⅱ)的一个基础解系为η1=(2,-1,a+2,1)T,η2=(-1,2,4,a+8)T
(1)求(Ⅰ)的一个基础解系;
(2)a为什么值时(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求出全部公共非零解.

选项

答案(1)把(Ⅰ)的系数矩阵用初等行变换化为简单阶梯形矩阵 [*] 得到(Ⅰ)的同解方程组 [*] 对自由未知量x3,x4赋值,得(Ⅰ)的基础解系γ1=(5,-3,1,0)T,γ3=(-3,2,0,1)T. (2)(Ⅱ)的通解为c1η1+c2η2=(2c1-c2,-c1+2c2,(a+2)c1+4c2,c1+(a+8)c2)T. 将它代入(Ⅰ),求出为使c1η1+c2η2也是(Ⅰ)的解(从而是(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解),c1,c2应满足的条件(过程略)为: [*] 于是当a+1≠0时,必须c1=c2=0,即此时公共解只有零解. 当a+1=0时,对任何c1,c2,c1η1+c2η2都是公共解.从而(Ⅰ),(Ⅱ)有公共非零解.此时它们的公共非零解也就是(Ⅱ)的非零解:c1η1+c2η2,c1,c2不全为0.

解析
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