求连接两点A(0，1)与B(1，0)的一条可微曲线，它位于弦AB的上方，并且对于此弧上的任意一条弦AP，该曲线与弦AP之间的面积为x4，其中x为点P的横坐标．

admin2019-03-21 55

问题求连接两点A(0，1)与B(1，0)的一条可微曲线，它位于弦AB的上方，并且对于此弧上的任意一条弦AP，该曲线与弦AP之间的面积为x⁴，其中x为点P的横坐标．

选项

答案如图1．6—1所示，点A(0，1)，B(1，0)，曲线AB的方程为y=f(x)，点P(x，f(x))．由直线方程的两点式知，弦AP的方程为 [*] 其中(X，Y)为弦AP上流动点的坐标．由题设条件知，图中阴影部分的面积为x，即 [*] 两边求导，化为常微分方程： [*] 即 xf’(x)一f(x)=一8x³一1．初始条件为f(1)=0．按一阶非齐次线性微分方程通解公式得 [*] 又由f(1)=0，得C=3．得 f(x)=一4x³+3x+1．

解析

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考研数学二

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求连接两点A(0，1)与B(1，0)的一条可微曲线，它位于弦AB的上方，并且对于此弧上的任意一条弦AP，该曲线与弦AP之间的面积为x4，其中x为点P的横坐标．

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