设向量组α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Ax≠0．证明：向量组β，β+α1，β+α22，…，β+αt线性无关．

admin2021-07-27 57

问题设向量组α₁，α₂，…，α_t是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Ax≠0．证明：向量组β，β+α₁，β+α₂2，…，β+α_t线性无关．

选项

答案设kβ+k₁(β+α₁)+…+k_t(β+α_t)=0，即(k+k₁+…+k_t)β+k₁α₁+…+k_tα_t=0，等式两边左乘A，得(k+k₁+…+k_t)Aβ=0→k+k₁+…+k_t=0，故k₁α₁+…+k_tα_t=0．由α₁，α₂，…，α_t线性无关，得k₁=…=k_t=0，故k=0，所以β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关．

解析

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